Mathematics 1

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By Szymon Dolecki

ISBN-10: 2705687416

ISBN-13: 9782705687410

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In accordance with Sperner's lemma the fastened element theorem of Brouwer is proved. instead of proposing additionally different attractive proofs of Brouwer's mounted aspect theorem, many great purposes are given in a few aspect. additionally Schauder's mounted aspect theorem is gifted that are considered as a average generalization of Brouwer's fastened element theorem to an infinite-dimensional atmosphere.

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Si une limite d ’une suite d ’éléments d’un espace métrique existe, alors elle est unique. D émonstration . Si x ,y sont deux limites de (xn)n, alors d(x, y) < d(x, x n) + d(xn, y) pour tout n, donc d(x, y) < limn_^oo(d(x, x n) + d(x„, y)) = lim n_>oo d(x, xn) + lim n— »oo d(®», 2/) = 0. □ Ayant établi l’unicité de la limite de suite, nous pouvons noter x —limTl_^00 Xji quand (xn)n converge vers x. En réécrivant la définition de la convergence d’une suite numérique (d(xn,x))n vers 0, on obtient la condition : x = lim^ooXn si et seulement si pour tout r > 0 il existe nr G N tel que d(xn,x) < r pour tout n > nr.

9. Une partie A est ouverte si et seulement si A C int A. Une partie A est fermée si et seulement si cl A C A. Il s’ensuit que dans un espace métrique, les ouverts, les fermés, Yintérieur et la fermeture sont des expressions équivalentes de la même structure, dite topologie d’un espace métrique. 1 montre qu’ils sont caractérisés par la convergence des suites. Mais, à leur tour, ils caractérisent cette convergence. 10. Dans un espace métrique, x = liuin-^oo^n si et seulement si pour tout ouvert O tel que x € O, l’ensemble {n : x n £ O} est fini.

Tout intervalle ouvert non vide de la droite réelle R est homéomorphe avec R. Par exemple, tan :] - f , §[-» R est un homéomor­ phisme, car c’est une fonction bijective, dont la fonction réciproque, arctan est continue. La fonction tan n’est pas uniformément continue, car si on considère une suite (x n)n telle que n = ta n x n, alors, d’après le théorème de Lagrange, il existe une suite (wn)n telle que x n < wn < xn+i et 1 = tan x n+i —ta n x n = — \ — (xn+i —x n). cosz wn On note que lim n_*oo x n = limn_^oo wn = §, donc limn_>oo cos2 wn = 0 et, par conséquent, limn_>oo |xn+i - x n\ = 0, ce qui contredit la continuité uniforme de tan.

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Analyse fondamentale : espaces métriques, topologiques et normés by Szymon Dolecki


by Jason
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